📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(sinα-cosα\) jest równa:
A
\(\frac{1}{5}\)
B
\(\frac{3}{5}\)
C
\(\frac{17}{25}\)
D
\(\frac{1}{25}\)
Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{16}{25}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{9}{25}$$
$$cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie.
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα-cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia:
$$sinα-cosα=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$