📄 Treść zadania
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) oraz \(f(-1)=f(3)=1\). Współczynnik \(b\) jest równy:
A
\(-2\)
B
\(-1\)
C
\(0\)
D
\(3\)
Do zadania można podejść na dwa sposoby:
I sposób:
Z treści zadania wynika, że dla \(x=-1\) oraz dla \(x=3\) funkcja przyjmuje wartość równą \(1\). W związku z tym podstawiając te dane do wzoru funkcji powstaną nam dwa równania z których stworzymy układ równań:
$$\begin{cases} 1=(-1)^2-1b+c \\ 1=3^2+3b+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} 1=1-b+c \\ 1=9+3b+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} -b+c=0 \\ 3b+c=-8 \end{cases}$$
Teraz odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-4b=8$$
$$b=-2$$
II sposób:
W treści podane mamy, że ta funkcja dla \(x=-1\) oraz \(x=3\) przyjmuje jednakową wartość. Znając kształt paraboli możemy wyciągnąć wniosek, że wierzchołek paraboli musi znaleźć się dokładnie po środku między tymi punktami. To oznacza, że możemy dość sprytnie wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli (czyli współrzędną \(p\)):
$$p=\frac{-1+3}{2}$$
$$p=\frac{2}{2}$$
$$p=1$$
Ze wzorów z tablic maturalnych wiemy, że współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli możemy wyznaczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
Wiemy już, że \(p=1\), a z treści zadania wynika, że \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie mamy żadnej liczby, czyli domyślnie \(a=1\)). W związku z tym podstawiając te dane do powyższego wzoru wyznaczymy bez przeszkód wartość poszukiwanego współczynnika \(b\):
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$1=\frac{-b}{2\cdot1}$$
$$1=\frac{-b}{2}$$
$$-b=2$$
$$b=-2$$