📄 Treść zadania
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że:
A
\(b\lt-1\)
B
\(b=-1\)
C
\(-1\lt b\lt1\)
D
\(b\ge1\)
Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b$$
$$2x=1+b$$
$$x=\frac{1+b}{2}$$
Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b$$
$$2y=1-b$$
$$y=\frac{1-b}{2}$$
Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0$$
$$1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0$$
$$b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$
To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).