📄 Treść zadania
Dane są punkty \(A=(-2,5)\) oraz \(B=(4,-1)\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym \(ABC\) jest równy:
A
\(\sqrt{6}\)
B
\(2\sqrt{6}\)
C
\(6\sqrt{3}\)
D
\(3\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-5)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(4+2)^2+(-1-5)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{36+36}$$
$$|AB|=\sqrt{72}$$
$$|AB|=\sqrt{36\cdot2}$$
$$|AB|=6\sqrt{2}$$
Jest to trójkąt równoboczny, stąd też wiemy, że każdy bok tego trójkąta ma miarę \(a=6\sqrt{2}\).
Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Obliczmy zatem tę wysokość:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$h=\frac{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}$$
$$h=\frac{6\sqrt{6}}{2}$$
$$h=3\sqrt{6}$$
Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej, promień okręgu opisanego na trójkącie stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości, czyli:
$$R=\frac{2}{3}\cdot h$$
$$R=\frac{2}{3}\cdot3\sqrt{6}$$
$$R=2\sqrt{6}$$