📄 Treść zadania
Liczba \(17^3+m^3\) jest podzielna przez \(19\) dla:
A
\(m=-8\)
B
\(m=-2\)
C
\(m=2\)
D
\(m=8\)
Najprościej (i chyba w tym przypadku najlepiej) jest po prostu sprawdzić dla którego \(m\) otrzymamy liczbę podzielną przez \(19\). Podstawiając po kolei każdą z odpowiedzi otrzymamy:
Odp. A. \(17^3+(-8)^3=4913+(-512)=4913-512=4401\)
\(4401:19=231,63...\)
Odp. B. \(17^3+(-2)^3=4913+(-8)=4913-8=4905\)
\(4905:19=258,15...\)
Odp. C. \(17^3+2^3=4913+8=4921\)
\(4921:19=259\)
Odp. D. \(17^3+8^3=4913+512=5425\)
\(5425:19=285,52...\)
W ten oto sposób widzimy wyraźnie, że liczba stała się podzielna przez \(19\) tylko w sytuacji, gdy \(m=2\).
Gdybyśmy jednak chcieli to zadanie rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby całość rozpisać korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$17^3+m^3=(17+m)(17^2-17m+m^2)$$
Z tak otrzymanej postaci widzimy, że liczba będzie podzielna przez \(19\), gdy wartość w jednym z nawiasów będzie podzielna przez \(19\). Patrząc się przykładowo na pierwszy nawias możemy powiedzieć, że \(17+m\) będzie podzielne przez \(19\) właśnie dla \(m=2\), bo otrzymamy wtedy \(17+2\), czyli \(19\).