Krok 1 — założenie nie wprost. Przypuśćmy, że $\sqrt2$ jest wymierna. Wtedy można ją zapisać jako ułamek nieskracalny:
$$\sqrt2=\frac{p}{q}, \qquad p,q \ \text{całkowite}, \ q\neq0$$
Krok 2 — podnosimy do kwadratu:
$$2=\frac{p^2}{q^2} \quad\Rightarrow\quad p^2=2q^2$$
Krok 3 — wniosek o $p$. Liczba $p^2$ jest parzysta, a kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty, więc $p$ musi być parzyste. Zapiszmy $p=2k$.
Krok 4 — podstawiamy:
$$(2k)^2=2q^2 \quad\Rightarrow\quad 4k^2=2q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=2k^2$$
Krok 5 — wniosek o $q$. Tym samym rozumowaniem $q$ też jest parzyste.
Krok 6 — sprzeczność. Skoro $p$ i $q$ są parzyste, ułamek $\frac{p}{q}$ da się skrócić przez $2$ — a założyliśmy, że jest nieskracalny. Otrzymana sprzeczność obala założenie. $\qquad ∎$
Uwaga historyczna. To jeden z najstarszych znanych dowodów nie wprost. Odkrycie liczb niewymiernych podważyło przekonanie pitagorejczyków, że każdą wielkość da się wyrazić stosunkiem liczb całkowitych — a $\sqrt2$ to przecież przekątna kwadratu o boku $1$.