📄 Treść zadania
Wyrażenie \(27x^3+y^3\) jest równe iloczynowi:
A
\((3x+y)(9x^2-3xy+y^2)\)
B
\((3x+y)(9x^2+3xy+y^2)\)
C
\((3x-y)(9x^2+3xy+y^2)\)
D
\((3x-y)(9x^2-3xy+y^2)\)
Możemy wymnożyć wyrazy w każdej z poszczególnych odpowiedzi i sprawdzić który wynik będzie równy iloczynowi z treści zadania. My jednak skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, a dokładniej to ze wzoru na sumę sześcianów:
$$\color{orange}{a^3}+\color{green}{b^3}=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$\color{orange}{27x^3}+\color{green}{y^3}=...$$
Ustalmy sobie co jest naszym wyrazem \(a\) oraz \(b\) w tym wzorze. Na pewno \(b=y\). Ale ile jest równe \(a\)? I tu klasyczna pułapka przy stosowaniu tego wzoru, bowiem \(a\neq27x\). Dlaczego? Ponieważ \((27x)^3=19683x^3\). W naszym przypadku \(a=3x\), bo \((3x)^3=27x^3\). Zatem:
$$27x^3+y^3=(3x+y)((3x)^2-3xy+y^2)$$
$$27x^3+y^3=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$$