📄 Treść zadania
Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).
Krok 1. Ułożenie równania.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$a+a\sqrt{2}=1$$
Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
$$a+a\sqrt{2}=1$$
$$a\cdot(1+\sqrt{2})=1$$
$$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$
Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}$$
$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}$$
$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}$$
$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}$$
$$a=-1+\sqrt{2}$$
$$a=\sqrt{2}-1$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość:
$$d=a\sqrt{2}$$
$$d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2}$$
$$d=2-\sqrt{2}$$