📄 Treść zadania
Uzasadnij, że równanie \(x^2+(a-1)x-a=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej a ma przynajmniej jedno rozwiązanie.
Krok 1. Obliczenie delty.
Liczba rozwiązań równania kwadratowego jest zależna od wartości delty. Spróbujmy zatem ją policzyć, tak jak robimy to przy rozwiązywaniu standardowego równania kwadratowego:
Współczynniki: \(a=1,\;b=a-1,\;c=-a\)
$$Δ=b^2-4ac=(a-1)^2-4\cdot1\cdot(-a)=a^2-2a+1+4a=a^2+2a+1$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Delta wyszła nam równa \(a^2+2a+1\). Powinniśmy dostrzec, że tę postać da się "zwinąć" przy użyciu wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a+1)^2\).
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to możemy być pewni, że \((a+1)^2\) jest na pewno większe lub równe zero. Z naszej analizy wynika więc, że delta jest zawsze większa lub równa zero, a skoro tak, to równanie kwadratowe zawsze będzie mieć dwa lub jedno rozwiązanie. W ten sposób udowodniliśmy, że to równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie.