📄 Treść zadania
Liczba \(\dfrac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}\) jest równa:
A
\(1\)
B
\(3\)
C
\(24\)
D
\(48\)
Warto pamiętać, że każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi zerowej, daje wynik równy \(1\). Do samego rozwiązania można podejść na różne sposoby. Mając w liczniku i mianowniku tylko mnożenie, możemy wręcz poskracać ze sobą pewne liczby. W tym celu trzeba byłoby rozpisać, że \(2^{-3}=2^{-1}\cdot2^{-2}\) oraz że \(3^{-4}=3^{-3}\cdot3^{-1}\). Całość wyglądałaby następująco:
$$\require{cancel}\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}=$$
$$=\frac{\cancel{2^{-1}}\cdot2^{-2}\cdot\cancel{3^{-3}}\cdot1}{\cancel{2^{-1}}\cancel{\cdot3^{-3}}\cdot3^{-1}\cdot4^{-1}}=$$
$$=\frac{2^{-2}}{3^{-1}\cdot4^{-1}}=\frac{2^{-2}}{12^{-1}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}}=\frac{1}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot12=3$$
Przy tak małych liczbach, nic też nie stoi na przeszkodzie by wręcz obliczyć wartości poszczególnych potęg:
$$\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{27}\cdot1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{4}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{1}{648}}=\frac{1}{216}:\frac{1}{648}=\frac{1}{216}\cdot648=3$$