📄 Treść zadania
Sprawdź, czy punkty \(A=(-2,3)\), \(B=(2,5)\), \(C=(2\sqrt{2},4+\sqrt{2})\) są współliniowe.
Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemów wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. Możemy w tym celu skorzystać z długiego wzoru dostępnego w tablicach maturalnych lub też możemy zbudować odpowiedni układ równań. Podstawiając do postaci \(y=ax+b\) współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
\begin{cases} 3=-2a+b \\ 5=2a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-2=-4a$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Znamy już wartość współczynnika \(a\). Wartość współczynnika \(b\) obliczymy podstawiając do dowolnego równania (np. drugiego) wyznaczoną przed chwilą wartość \(a=\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$5=2a+b$$
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b$$
$$5=1+b$$
$$b=4$$
Mamy już obliczone wartości obydwu współczynników, zatem możemy zapisać, że równaniem prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\) będzie \(y=\frac{1}{2}x+4\).
Krok 2. Sprawdzenie, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\).
Musimy teraz sprawdzić, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Jeżeli tak, to rzeczywiście wszystkie wskazane punkty są współliniowe. Podstawmy zatem do równania prostej \(AB\) współrzędne punktu \(C\), czyli \(x=2\sqrt{2}\) oraz \(y=4+\sqrt{2}\):
$$y=\frac{1}{2}x+4$$
$$4+\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}+4$$
$$4+\sqrt{2}=\sqrt{2}+4$$
$$L=P$$
Lewa strona jest równa stronie prawej, a to oznacza, że punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Wniosek z tego płynie taki, że wszystkie trzy punkty są współliniowe i leżą na prostej \(y=\frac{1}{2}x+4\).