Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, musimy uporządokować cały zapis, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$3(2x^2+1)\lt11x$$
$$6x^2+3\lt11x$$
$$6x^2-11x+3\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=6,\;b=-11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-7}{2\cdot6}=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+7}{2\cdot6}=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$