📄 Treść zadania
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:
A
\(0\)
B
\(5\)
C
\(11\)
D
\(-11\)
Krok 1. Rozpisanie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{1}+5r$$
$$\text{czyli:}$$
$$a_{1}=a_{6}-5r$$
Skoro \(a_{6}\) jest równe \(0\), to wychodzi nam, że:
$$a_{1}=0-5r$$
$$a_{1}=-5r$$
Krok 2. Obliczenie sumy jedenastu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{11}=\frac{2a_{1}+(11-1)r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{2\cdot(-5r)+10r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{-10r+10r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{0}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=0$$