Zadanie 14 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2017 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować wskazany trójkąt prostokątny, zaznaczając na nim informacje z treści zadania. Kluczowe jest tutaj umiejscowienie kąta \(30°\). Jest to na pewno najmniejszy kąt w tym trójkącie, czyli musi leżeć przy dłuższej przyprostokątnej:



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{x}{x+4}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{x+4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3x=\sqrt{3}(x+4)$$ $$3x=\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$$ $$3x-\sqrt{3}x=4\sqrt{3}$$ $$(3-\sqrt{3})x=4\sqrt{3}$$ $$x=\frac{4\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$ $$x=\frac{(4\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})}$$ $$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{9-3}$$ $$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{6}$$ $$x=2\sqrt{3}+2$$