📄 Treść zadania
Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_{3},a_{5}\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_{3},x,a_{5})\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:
A
\(x=\frac{61}{48}\)
B
\(x=\frac{61}{96}\)
C
\(x=\frac{69}{96}\)
D
\(x=\frac{69}{48}\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Podstawiając do wzoru \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{3}=\frac{2\cdot3+1}{3+3}$$
$$a_{3}=\frac{6+1}{6}$$
$$a_{3}=\frac{7}{6}$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\).
Podstawiając do wzoru \(n=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=\frac{2\cdot5+1}{5+3}$$
$$a_{5}=\frac{10+1}{8}$$
$$a_{5}=\frac{11}{8}$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(x\).
Wiemy, że \(a_{3}, x, a_{5}\) są trzema sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego. Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że w takiej sytuacji wartość środkowego z tych trzech wyrazów jest równa średniej arytmetycznej dwóch wyrazów skrajnych, czyli w naszym przypadku:
$$x=\frac{a_{3}+a_{5}}{2}$$
$$2x=a_{3}+a_{5}$$
$$2x=\frac{7}{6}+\frac{11}{8}$$
$$2x=\frac{56}{48}+\frac{66}{48}$$
$$2x=\frac{122}{48}$$
$$x=\frac{61}{48}$$