📄 Treść zadania
Dana jest funkcja określona wzorem \(y=x^2-4\sqrt{3}x+12\). Trzecia potęga jedynego miejsca zerowego tej funkcji to liczba:
A
\(8\sqrt{3}\)
B
\(24\)
C
\(24\sqrt{3}\)
D
\(12\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji.
Musimy znaleźć miejsce zerowe tej funkcji (przy okazji możemy wyczytać, że będzie tylko jedno takie miejsce), zatem musimy rozwiązać równanie:
$$x^2-4\sqrt{3}x+12=0$$
Teraz możemy przejść do obliczenia delty, choć jeśli jesteśmy spostrzegawczy to wyjątkowo tutaj liczenie delty możemy pominąć. Dlaczego? Skoro jest jedno miejsce zerowe, to delta na pewno wyjdzie równa \(0\) (wiemy to bez liczenia). Możemy więc od razu przejść do obliczenia miejsca zerowego ze wzoru \(x=\frac{-b}{2a}\). Jeżeli jednak tego nie dostrzegliśmy, to możemy to zadanie rozwiązać jak każde inne:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4\sqrt{3},\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot12=16\cdot3-48=48-48=0$$
Otrzymaliśmy deltę równą \(0\) zatem mamy tylko jedno rozwiązanie równania kwadratowego:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4\sqrt{3})}{2\cdot1}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$
Krok 2. Podniesienie wyniku do potęgi trzeciej.
Zgodnie z treścią zadania to jeszcze nie jest koniec rozwiązania, bo proszą nas o podanie trzeciej potęgi obliczonej przed chwilą liczby, zatem:
$$(2\sqrt{3})^3=2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=8\cdot3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$$