📄 Treść zadania
Prosta \(l\) przechodzi przez punkty \(A=(6,-7), B=(-10,3)\). Prosta \(k\) jest symetralną odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:
A
\(-\frac{8}{5}\)
B
\(\frac{8}{5}\)
C
\(\frac{5}{8}\)
D
\(-\frac{5}{8}\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Jesteśmy w stanie wyznaczyć pełny wzór prostej \(l\) (bo znamy współrzędne dwóch punktów przez które ona przechodzi, więc możemy skorzystać np. z metody układu równań), ale nam do tego zadania wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego tej prostej, a wyznaczyć go możemy z następującego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
$$a=\frac{3-(-7)}{-10-6}$$
$$a=\frac{3+7}{-16}$$
$$a=\frac{10}{-16}$$
$$a=-\frac{5}{8}$$
Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Prosta \(k\) jest symetralną do odcinka \(AB\). My wiemy, że symetralna do odcinka jest zawsze prostą prostopadłą. Wniosek dla nas z tego płynie taki, że prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro wiec prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{5}{8}\), to prosta \(k\) będzie miała ten współczynnik równy \(a=\frac{8}{5}\), bo \(-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-1\).