Zadanie 23 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2016 — zadania z rozwiązaniami

W tym zadaniu musimy pamiętać o własnościach trójkątów równoramiennych prostokątnych, czyli trójkąta o kątach \(45°,45°,90°\). W takim trójkącie przyprostokątne o długości \(a\) mają przeciwprostokątną \(\sqrt{2}\) razy większą, czyli mają przeciwprostokątną równą \(a\sqrt{2}\). To oznacza, że powstanie nam taka oto sytuacja:



Spójrzmy najpierw na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt równoramienny o boku \(a\), zatem przeciwprostokątna \(AC\) ma długość \(a\sqrt{2}\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). To także jest trójkat równoramienny, czyli skoro \(|AC|=a\sqrt{2}\) to także \(|BC|=a\sqrt{2}\). W związku z tym przeciwprostokątna \(AB\) będzie mieć długość \(a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\) i to będzie najdłuższy bok tego trójkąta.

To oznacza, że najdłuższy bok w tym trapezie ma długość \(2a\).