📄 Treść zadania
Suma długości krawędzi czworościanu foremnego wynosi \(4\sqrt{6}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego czworościanu.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi czworościanu.
Czworościan foremny to taki ostrosłup, którego wszystkie ściany wraz z podstawą są jednakowymi trójkątami równobocznymi. Mówiąc wprost, jest to bryła mająca wszystkie krawędzie jednakowej długości. Taki czworościan ma \(6\) krawędzi, a z treści zadania wiemy, że suma ich długości wynosi \(4\sqrt{6}\). To oznacza, że każda z krawędzi ma długość:
$$a=\frac{4\sqrt{6}}{6}$$
$$a=\frac{2}{3}\sqrt{6}$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Ustaliliśmy już, że każda ściana jest trójkątem równobocznym o boku \(a=\frac{2}{3}\sqrt{6}\), zatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że każda ze ścian ma pole równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{\left(\frac{2}{3}\sqrt{6}\right)^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{\frac{4}{9}\cdot6\cdot\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{\frac{24}{9}\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Czworościan foremny ma cztery jednakowe ściany, każda z nich jak już obliczyliśmy ma pole powierzchni równe \(P=\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}\), zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{c}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$$