📄 Treść zadania
Równanie \(\begin{split}\frac{-3(9-x^2)(x+3)}{x(x+3)}=0\end{split}\):
A
nie ma rozwiązania
B
ma jedno rozwiązanie
C
ma dwa rozwiązania
D
ma trzy rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x(x+3)\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Na początek musimy wymnożyć obie strony równania przez \(x(x+3)\), pozbywając się w ten sposób mianownika:
$$\frac{-3(9-x^2)(x+3)}{x(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot x(x+3)$$
$$-3(9-x^2)(x+3)=0 \quad\bigg/:-3$$
$$(9-x^2)(x+3)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem aby wartość równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam tę równość wyzerować. W związku z tym:
$$9-x^2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania: \(x=3\) oraz \(x=-3\). Jednak z założeń wynika, że \(x\neq-3\) i dlatego też to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=3\).