📄 Treść zadania
Prosta \(l\) ma równanie \(3x-2y=7\). Prosta \(k\) prostopadła do prostej \(l\) może mieć równanie:
A
\(y=\frac{2}{3}x+1\)
B
\(y=-\frac{2}{3}x+1\)
C
\(y=\frac{3}{2}x+1\)
D
\(y=-\frac{3}{2}x+1\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić w ogóle do działania musimy zapisać równanie prostej \(l\) w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Zatem:
$$3x-2y=7$$
$$-2y=-3x+7 \quad\bigg/:(-2)$$
$$y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$$
Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta \(l\) ma ten współczynnik kierunkowy równy \(\frac{3}{2}\) (właśnie po to zapisywaliśmy równanie tej prostej w postaci kierunkowej), zatem druga prosta musi mieć współczynnik \(a\) równy:
$$a\cdot\frac{3}{2}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$
$$a=-\frac{2}{3}$$
Taki współczynnik kierunkowy znalazł się jedynie w drugiej odpowiedzi, zatem poszukiwaną przez nas prostą prostopadłą jest \(y=-\frac{2}{3}x+1\).