📄 Treść zadania
Jeśli \(α\) jest kątem rozwartym i \(sinα=\frac{12}{13}\), to:
A
\(cosα=\frac{13}{12}\)
B
\(cosα=-\frac{13}{12}\)
C
\(cosα=\frac{5}{13}\)
D
\(cosα=-\frac{5}{13}\)
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Podstawiając do tego równania wartość sinusa z treści zadania bez problemu obliczymy wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\left(\frac{12}{13}\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{144}{169}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{25}{169}$$
$$cosα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{13}$$
Zazwyczaj odrzucamy ujemne rozwiązanie, bo zazwyczaj w treści zadania informują nas że \(α\) jest kątem ostrym. Tym razem wyjątkowo \(α\) jest kątem rozwartym, a dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje zawsze wartości ujemne, zatem tutaj musimy odrzucić dodatnie rozwiązanie, dzięki czemu zostaje nam, że \(cosα=-\frac{5}{13}\).