📄 Treść zadania
Długość odcinka \(BD\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\) jest równa:
A
\(\frac{9\sqrt{3}}{4}\)
B
\(4\)
C
\(4\sqrt{3}\)
D
\(4\sqrt{2}\)
Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiemy, że w tym trójkącie znalazły się kąty \(30°\) oraz \(90°\), zatem trzeci kąt tego trójkąta ma miarę:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-30°-90°=60°$$
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(DCA\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(CAD\). Wiemy że kąt \(CAD\) ma miarę \(60°\) (bo \(|\sphericalangle CAD|=|\sphericalangle CAB|=60°\)). Wiemy też że \(|\sphericalangle CDA|=60°\), zatem:
$$|\sphericalangle DCA|=180°-60°-60°=60°$$
Możemy więc już wywnioskować, że trójkąt \(CAD\) jest trójkątem równobocznym.
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(BCD\).
Teraz spójrzmy na kąt \(BCA\), który ma miarę \(90°\). Składa się on z kąta \(DCA\) (którego miarę obliczyliśmy przed chwilą) oraz kąta \(BCD\), który ma w takim razie ma miarę:
$$|\sphericalangle BCD|=90°-60°=30°$$
To oznacza, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie \(30°\).
Krok 4. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Skoro trójkąt \(CAD\) jest równoboczny, to \(|CD|=|CA|\), czyli \(|CD|=4\).
Skoro trójkąt \(BCD\) jest równoramienny, to \(|BD|=|CD|\), czyli \(|BD|=4\).