Zadanie 18 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2013 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Do obliczenia tangensa potrzebna jest długość drugiej przyprostokątnej, a tą wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$7^2+x^2=8^2$$ $$49+x^2=64$$ $$x^2=15$$ $$x=\sqrt{15} \quad\lor\quad x=-\sqrt{15}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem \(x=\sqrt{15}\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten trójkąt, zaznaczając na nim kąt ostry. Musimy pamiętać, że mniejszy kąt będzie leżał przy dłuższej przyprostokątnej. W tym przypadku dłuższą przyprostokątną jest ta o długości \(7\), bo \(7\gt\sqrt{15}\). Dzięki temu będziemy wiedzieć które długości boków należy wziąć do obliczeń poszukiwanego tangensa.



Krok 3. Wyznaczenie wartości tangensa.
Zgodnie z definicją tangensa i zgodnie z naszym rysunkiem pomocniczym możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\sqrt{15}}{7}$$