Zadanie 20 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2013 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości promienia.
Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że:
$$πr^2=\frac{16}{3}π$$ $$r^2=\frac{16}{3}$$ $$r=\sqrt{\frac{16}{3}} \quad\lor\quad r=-\sqrt{\frac{16}{3}}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{\frac{16}{3}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(r=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Z własności okręgów wpisanych w trójkąt równoboczny wiemy, że promień okręgu wpisanego jest równy \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta, czyli \(r=\frac{1}{3}h\). To pozwoli nam wyznaczyć wysokość takiego trójkąta:
$$r=\frac{1}{3}h$$ $$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}h \quad\bigg/\cdot3$$ $$h=\frac{12}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości boku trójkąta.
Z własności trójkątów równobocznych wynika, że \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). W związku z tym:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2$$ $$\frac{24}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot\sqrt{3}$$ $$24=3a$$ $$a=8$$

Krok 4. Obliczenie obwodu trójkąta.
Trójkąt równoboczny ma trzy boki równej długości, zatem:
$$Obw=8+8+8=24$$