📄 Treść zadania
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0\) wynosi:
A
\(5\)
B
\(4\)
C
\(3\)
D
\(2\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość \(x^2+2x\) musi być różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+2x=0\) i wykluczyć te argumenty z naszego rozwiązania równania.
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+2x)$$
$$(x+3)(x^2-4)=0$$
Mamy wygodną postać iloczynową, zatem możemy przyrównać wartość każdego nawiasu do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2-4=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x^2=4$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=-2\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).