📄 Treść zadania
Kolarz pokonał trasę \(114km\). Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9,5\frac{km}{h}\), to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.
W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.
\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)
\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:
\begin{cases} 114=vt \\ (v-9,5)(t+2)=114 \end{cases}
Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:
$$\require{cancel}
(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v$$
$$(v-9,5)(114+2v)=114v$$
$$\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v}$$
$$2v^2-19v-1083=0$$
Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-19,\;c=-1083\)
$$Δ=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361-(-8664)=361+8664=9025$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9025}=95$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19$$
$$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28,5$$
Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).