📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) drugi wyraz jest równy \(7\), a szósty \(17\). Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Krok 1. Utworzenie układu równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$\begin{cases} a_{2}=a_{1}+r \\ a_{6}=a_{1}+5r \end{cases}$$
$$\begin{cases} 7=a_{1}+r \\ 17=a_{1}+5r \end{cases}$$
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Musimy rozwiązać nasz układ równań. Możemy to zrobić metodą podstawiania (wyznaczając \(a_{1}\) z jednego równania i podstawiając to do drugiego równania), albo też możemy po prostu odjąć te równania stronami otrzymując:
$$-10=-4r$$
$$r=2\frac{1}{2}$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając różnicę ciągu możemy teraz skorzystać z jednego z równań znajdujących się w układzie i możemy wyliczyć tym samym wartość pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$7=a_{1}+2\frac{1}{2}$$
$$a_{1}=4\frac{1}{2}$$