📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\cosα\) jest równy:
A
\(\frac{5}{12}\)
B
\(\frac{5}{13}\)
C
\(\frac{10}{13}\)
D
\(\frac{12}{13}\)
Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5}$$
$$\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$
Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$
Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z poprzedniego kroku wyszło nam, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(sinα=\frac{12}{5}cosα\). W związku z tym:
$$\left(\frac{12}{5}cosα\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{144}{25}cos^2α+cos^2α=1$$
$$\frac{169}{25}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{169}$$
$$cos^2α=\frac{25}{169}$$
$$cosα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{13}$$
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{5}{13}\).