Zadanie 1.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne do wykonania obliczeń, ale zobrazujmy sobie może o co w ogóle chodzi z tymi trójkątami, które spełniają warunki zadania. Taka wizualizacja przyda nam się w zrozumieniu istoty zadania. Ogólnie chodzi o to, że te trójkąty mogą wyglądać w ten sposób:
W tym zadaniu interesuje nas jeden konkretny trójkąt - ten, którego przyprostokątna \(BC\) ma długość \(2\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Jeżeli długość boku \(BC\) jest równa \(2\), a punkt \(B\) leży na osi \(OX\), to współrzędna \(y\) punktu \(C\) na pewno jest równa \(y_{C}=2\). Spróbujmy teraz obliczyć współrzędną \(x\) punktu \(C\). Skoro punkt ten leży na prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+5\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$2=-\frac{1}{2}x+5$$
$$-3=-\frac{1}{2}x$$
$$x=6$$
To oznacza, że \(C=(6;2)\).
Krok 3. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(AC\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej \(AC\), korzystając po prostu ze wzoru na długość odcinka:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(6-0)^2+(2-0)^2}$$
$$|AC|=\sqrt{6^2+2^2}$$
$$|AC|=\sqrt{36+4}$$
$$|AC|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$
Ewentualnie moglibyśmy oczywiście skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, dostrzegając że \(|AB|=6\) oraz \(|BC|=2\), zatem:
$$6^2+4^2=|AC|^2$$
$$36+4=|AC|^2$$
$$|AC|^2=40$$
$$|AC|=\sqrt{40} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{40}$$
Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(|AC|=\sqrt{40}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AC|=2\sqrt{10}\).
Zadanie 2.
Krok 1. Rozpisanie współrzędnych punktu \(C\).
Powinniśmy dostrzec, że współrzędna \(x_{C}\) musi być taka sama jak \(x_{B}\) (dobrze to było widać chociażby w poprzedniej części zadania). Skoro więc współrzędna \(x_{B}=m\) (tak wynika z treści zadania), to także \(x_{C}=m\). Dodatkowo, skoro punkt \(C\) leży na prostej określonej równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+5\), to możemy zapisać, że \(y_{C}=-\frac{1}{2}m+5\).
To pozwala nam zapisać, że \(C=(m;-\frac{1}{2}m+5)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(m)\).
Pole trójkąta \(ABC\) obliczymy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|BC|$$
Powinniśmy zauważyć, że długość odcinka \(AB\) będzie równa tyle, co współrzędna \(x\) punktu \(B\), czyli \(|AB|=m\). Z kolei wysokość \(|BC|\) będzie równa tyle, ile współrzędna \(y\) punktu \(C\), czyli \(|BC|=-\frac{1}{2}m+5\). Jeśli tego nie dostrzegasz, to zwróć uwagę na pierwsze zadanie, tam jest to bardzo dobrze widoczne.
Możemy więc zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot m\cdot(-\frac{1}{2}m+5)$$
$$P=-\frac{1}{4}m^2+\frac{5}{2}m$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni można opisać wzorem \(-\frac{1}{4}m^2+\frac{5}{2}m\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(m\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(m)=-\frac{1}{4}m^2+\frac{5}{2}m\).
Krok 3. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
Współrzędne punktu \(C\) są dodatnie (tak wynika z treści zadania), zatem:
$$m\gt0 \quad\text{oraz}\quad -\frac{1}{2}m+5\gt0$$
$$m\gt0 \quad\text{oraz}\quad -\frac{1}{2}m\gt-5$$
$$m\gt0 \quad\text{oraz}\quad m\lt10$$
Przy okazji zwróć uwagę, że zmienił się znak drugiej nierówności na przeciwny. Stało się tak dlatego, ponieważ mając postać \(-\frac{1}{2}m\gt-5\) wykonywaliśmy obustronne mnożenie przez \(-2\), czyli przez liczbę ujemną, a mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną zawsze trzeba zmienić znak na przeciwny.
Wyszło nam więc, że \(m\) musi być większe od \(0\) i mniejsze od \(10\), stąd też dziedziną funkcji \(P(m)\) będzie \(m\in(0;10)\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na poziomej osi mamy \(m\), a na pionowej pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(m\) osiągniemy jak największe pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej wartości \(m\) to największe pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$
W naszym przypadku współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) oraz \(b=\frac{5}{2}\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-\frac{5}{2}}{2\cdot(-\frac{1}{4})}$$
$$x_{W}=\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}$$
$$x_{W}=\left(-\frac{5}{2}\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$x_{W}=\left(-\frac{5}{2}\right)\cdot(-2)$$
$$x_{W}=5$$
Tu warto przy okazji dodać, że otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie, zatem wszystko jest w porządku.
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
W poprzednim kroku otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni będzie największe wtedy, gdy współrzędna \(x\) będzie równa \(5\). W naszym przypadku współrzędną \(x\) punktu \(C\) oznaczyliśmy jako \(m\), zatem to pole będzie największe wtedy, gdy \(m=5\). Współrzędna \(y\) punktu \(C\) jest opisana jako \(-\frac{1}{2}m+5\), zatem:
$$y_{C}=-\frac{1}{2}\cdot5+5$$
$$y_{C}=-2\frac{1}{2}+5$$
$$y_{C}=2\frac{1}{2}$$
To oznacza, że największe pole powierzchni otrzymamy wtedy, gdy \(C=(5;2\frac{1}{2})\).
