Zadanie 34 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Listopad 2009 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Stworzenie układu równań na podstawie danych z treści zadania.
Oznaczmy sobie przyprostokątne jako \(x\) oraz \(y\), a przeciwprostokątną jako \(z\). Ze wzoru na pole trójkąta wiemy, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot x \cdot y$$ $$60=\frac{1}{2}\cdot x \cdot y$$ $$x\cdot y=120$$
I to będzie nasze pierwsze równanie.

Z samej treści zadania wynika, że jedna z tych przyprostokątnych jest o \(7cm\) dłuższa od drugiej (nie ma dla nas znaczenia która krótsza, a która dłuższa), czyli:
$$x=y+7$$

I tu mała uwaga: W tym przypadku założyliśmy sobie, że przyprostokątna \(x\) jest dłuższa. Równie dobrze możemy zapisać to jako \(x=y-7\), wtedy to przyprostokątna \(y\) będzie dłuższa. Wbrew pozorom nie ma to dla nas generalnie znaczenia, bo naszym celem i tak jest wyznaczenie długości przeciwprostokątnej.

Z naszych rozważań możemy zbudować następujący układ równań:
\begin{cases} x\cdot y=120 \\ x=y+7 \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Podstawiamy dane z drugiego równania do pierwszego, otrzymując w ten sposób:
$$(y+7)\cdot y=120$$ $$y^2+7y-120=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Do obliczenia tego równania skorzystamy z metody delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=7,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=7^2-4\cdot1\cdot(-120)=49-(-480)=49+480=529$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{529}=23$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7-23}{2\cdot1}=\frac{-30}{2}=-15$$ $$y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-7+23}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo długość odcinka musi być dodatnia. To oznacza, że przyprostokątna \(y=8\). Podstawiając tą wartość do dowolnego z równań możemy szybko wyznaczyć długość także drugiej przyprostokątnej:
$$x=8+7$$ $$x=15$$

Krok 4. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Znając długości dwóch przyprostokątnych możemy za pomocą Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość przeciwprostokątnej, zatem:
$$x^2+y^2=z^2$$ $$15^2+8^2=z^2$$ $$225+64=z^2$$ $$z^2=289$$ $$z=17$$