📄 Treść zadania
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) ma dwanaście wyrazów, których suma jest równa \(168\). Różnica \(a_{1}-a_{12}\) wynosi \(22\).
Wyznacz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$168=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$14=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}$$
$$a_{1}+a_{12}=28$$
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}-a_{12}=22\), czyli że tym samym \(a_{1}=22+a_{12}\). Podstawiając tę informację do równania \(a_{1}+a_{12}=28\), wyjdzie nam, że:
$$22+a_{12}+a_{12}=28$$
$$2a_{12}=6$$
$$a_{12}=3$$
Musimy jeszcze obliczyć wartość \(a_{1}\). Zapisaliśmy przed chwilą, że \(a_{1}=22+a_{12}\), zatem:
$$a_{1}=22+3$$
$$a_{1}=25$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jeszcze różnicy ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{12}=a_{1}+11r$$
Podstawiając do tego równania znane nam \(a_{1}=25\) oraz \(a_{12}=3\), otrzymamy:
$$3=25+11r$$
$$11=-22$$
$$r=-2$$
Krok 3. Zapisanie wzoru.
Do zapisania wzoru skorzystamy ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając do niego \(a_{1}=25\) oraz \(r=-2\), otrzymamy:
$$a_{n}=25+(n-1)\cdot(-2)$$
$$a_{n}=25-2n+2$$
$$a_{n}=-2n+27$$