Zadanie 17 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta.
Z równania wynika, że:
$$2|AB|=12$$ $$|AB|=6$$

$$3|BC|=12$$ $$|BC|=4$$

$$4|AC|=12$$ $$|AC|=3$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obwód tego trójkąta jest równy:
$$Obw=6+4+3$$ $$Obw=13$$

Zdanie jest więc fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że jeżeli \(a^2+b^2=c^2\) to trójkąt jest prostokątny. Możemy tutaj też dodać, że jeżeli \(a^2+b^2\gt c^2\) to trójkąt jest ostrokątny, a jeżeli \(a^2+b^2\lt c^2\) to trójkąt jest rozwartokątny. Musimy więc obliczyć ile to jest \(a^2+b^2\) i odnieść ten wynik do wartości \(c^2\). I tu uwaga - pod \(a\) oraz \(b\) zawsze podstawimy krótsze boki, natomiast pod \(c\) zawsze ten najdłuższy. W związku z tym:
$$a^2+b^2=3^2+4^2$$ $$a^2+b^2=9+16$$ $$a^2+b^2=25$$

$$c^2=6^2$$ $$c^2=36$$

Wyszło nam więc, że \(a^2+b^2\lt c^2\), ponieważ \(25\lt36\). To oznacza, że ten trójkąt jest rozwartokątny, czyli zdanie jest fałszem.