Zadanie 16 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Skoro tak, to podane w treści równanie możemy przekształcić w następujący sposób:
$$sin\alpha=2\cdot cos\alpha$$ $$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2$$ $$tg\alpha=2$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tym razem skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli zależności \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Z równania \(sin\alpha=2\cdot cos\alpha\) wynika, że \(cos\alpha=\frac{1}{2}sin\alpha\). Podstawiając to teraz do jedynki trygonometrycznej, otrzymamy:
$$sin^2\alpha+\left(\frac{1}{2}sin\alpha\right)^2=1$$ $$sin^2\alpha+\frac{1}{4}sin^2\alpha=1$$ $$\frac{5}{4}sin^2\alpha=1 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5}$$ $$sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$ $$sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{4}{5}}$$

Skoro \(\alpha\) jest kątem ostrym, to sinus takiego kąta musi być dodatni, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy i zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{4}{5}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako $$sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Sinus nie jest więc równy \(\frac{1}{2}\), czyli zdanie jest fałszem.