Zadanie 22 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację, zaznaczając odpowiednie miary na graniastosłupie:


Kluczową obserwacją jest dostrzeżenie, że tak naprawdę długość przekątnej podstawy jest równa wysokości graniastosłupa. Skąd to wiemy? Zaznaczony na rysunku trójkąt to charakterystyczny trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) a więc trójkąt równoramienny.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
W podstawie mamy kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że ich przekątną można obliczyć ze wzoru \(d=a\sqrt{2}\). Skoro krawędź podstawy ma długość \(a=\sqrt{8}\), to:
$$d=a\sqrt{2}$$ $$d=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}$$ $$d=\sqrt{16}$$ $$d=4$$

Tym samym, zgodnie z informacją omówioną w kroku pierwszym, możemy zapisać, że także \(H=4\).

Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Obliczenie objętości jest już tylko formalnością:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\cdot4$$ $$V=8\cdot4$$ $$V=32$$