Zadanie 15 Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - CKE 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Ostrosłup ma \(8\) krawędzi, natomiast graniastosłup ma \(9\) krawędzi. Skoro każda z krawędzi ma jednakową długość, to suma wszystkich krawędzi ostrosłupa jest na pewno mniejsza niż suma suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro wszystkie krawędzie mają jednakową długość, to znaczy że ścianami tych brył są trójkąty równoboczne oraz kwadraty. W związku z tym musimy skorzystać ze wzorów na pole trójkąta równobocznego oraz kwadratu.
$$P_{tr}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{kw}=a^2$$

W ostrosłupie mamy cztery ściany trójkątne i jedną ścianę kwadratową, zatem pole powierzchni całkowitej ostrosłupa będzie równe:
$$P_{o}=4\cdot P_{tr}+P_{kw}$$ $$P_{o}=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+a^2$$ $$P_{o}=a^2\sqrt{3}+a^2$$

W graniastosłupie mamy dwie ściany trójkątne oraz trzy kwadratowe, zatem pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie równe:
$$P_{g}=2\cdot P_{tr}+3\cdot P_{kw}$$ $$P_{g}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3a^2$$ $$P_{g}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a^2$$

Teraz powinniśmy porównać do siebie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa i graniastosłupa, ale tak na pierwszy rzut oka nie jesteśmy w stanie stwierdzić, które pole jest większe. Dlatego też w jednym i drugim polu powierzchni musimy jeszcze wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
$$P_{o}=a^2\sqrt{3}+a^2=a^2(\sqrt{3}+1)$$ $$P_{g}=3a^2+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}=a^2\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

W tym momencie porównanie pól powierzchni robi się już znacznie łatwiejsze, bowiem przyjmując przybliżenie \(\sqrt{3}\approx1,73\) wyjdzie nam, że:
$$P_{o}\approx a^2\cdot(1,73+1)\approx 2,73a^2$$ $$P_{g}\approx a^2\cdot\left(3+\frac{1,73}{2}\right)\approx3,865a^2$$

To oznacza, że pole ostrosłupa jest mniejsze niż pole graniastosłupa, zatem zdanie jest fałszem.