📄 Treść zadania
Wartość wyrażenia \(x-1+\frac{1}{x-1}\) dla \(x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) jest równa:
A
\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
B
\(3\)
C
\(\frac{1}{3}\)
D
\(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
Krok 1. Uproszczenie zapisu liczby \(x\).
Zacznijmy od uproszczenia zapisu liczby \(x\), a dokładniej rzecz ujmując od usunięcia niewymierności z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik ułamka pomnożyć przez wartość znajdującą się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Obliczenia będą wyglądać następująco:
$$x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$
Krok 2. Podstawienie danych do wyrażenia.
Podstawiając wartość \(x\) do naszego wyrażenia bardzo wiele rzeczy zacznie się teraz skracać, a całość będzie wyglądać następująco:
$$x-1+\frac{1}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=$$
$$=\frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$