Zadanie 3 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2021 — zadania z rozwiązaniami

Do zadania można podejść na różne sposoby, więc pokażmy sobie różne metody rozwiązania takiego przykładu.

I sposób - rozwiązując każdy logarytm osobno.
Zacznijmy od liczby \(a\). Z własności potęg wiemy, że dwójkę stojącą przed logarytmem możemy przenieść w miejsce potęgi liczby logarytmowanej, dzięki czemu otrzymamy:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4=1$$

Logarytm \(b\) jest nieco trudniejszy, dlatego rozpiszmy go sobie w taki sposób, by przejść do postaci potęgowej:
$$log_{4}8=x \Rightarrow 4^x=8$$

Pamiętając o tym, że \(4=2^2\) oraz że \(8=2^3\), otrzymamy:
$$4^x=8$$ $$(2^2)^x=2^3$$ $$2^{2x}=2^3$$ $$2x=3$$ $$x=1,5$$

To oznacza, że \(b=log_{4}8=1,5\)

Teraz sprawa jest już prosta, bowiem skoro \(a=1\) oraz \(b=1,5\), to \(a-b=1-1,5=-\frac{1}{2}\).

II sposób - korzystając z działań na logarytmach
Rozpiszmy sobie logarytm \(a\), przenosząc dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4$$

Oczywiście wartość powyższego logarytmu jest równa \(1\), ale nam postać \(log_{4}4\) bardzo pasuje, bo użyjemy jej w odejmowaniu logarytmów, więc możemy ją tak zostawić. Korzystając ze wzoru \(log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}4-log_{4}8=log_{4}\frac{4}{8}=log_{4}\frac{1}{2}$$

Aby rozwiązać taki logarytm, najprościej będzie przejść do zapisu potęgowego:
$$log_{4}\frac{1}{2}=x \Rightarrow 4^x=\frac{1}{2}$$

Wiedząc, że \(\frac{1}{2}=2^1\) możemy zapisać, że:
$$4^x=\frac{1}{2}$$ $${(2^2)}^x=2^{-1}$$ $$2^{2x}=2^{-1}$$ $$2x=-1$$ $$x=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że \(a-b=-\frac{1}{2}\).