📄 Treść zadania
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \(x^2+y^2+11\gt2x+6y\).
Na początek spróbujmy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymując:
$$x^2+y^2+11-2x-6y\gt0$$
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
Teraz najtrudniejsza część zadania, która nie ma co ukrywać - wymaga od nas sprawnego wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Musimy zwinąć odpowiednie wyrazy w taki sposób, by otrzymać kwadrat sumy, czyli postać \((a+b)^2\) lub kwadrat różnicy, czyli postać \((a-b)^2\). Trudność tego zadania jest tym większa, że takiego "zwinięcia" będziemy musieli dokonać dwukrotnie, a jakby tego było mało, to dodatkowo będziemy musieli rozbić liczbę \(11\) na sumę \(9+1+1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-6y+9+1\gt0$$
$$(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)+1\gt0$$
$$(x-1)^2+(y-3)^2+1\gt0$$
Wiemy, że jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe lub równe \(0\) oraz \((y-3)^2\) jest także większe lub równe \(0\). Dodatkowe \(+1\) sprawia, że wyrażenie po lewej stronie na pewno jest większe od zera i to należało właśnie udowodnić.