📄 Treść zadania
Liczby: \(1, a+1, 9\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny tylko wtedy, gdy:
A
\(a=2\)
B
\(a=4\)
C
\(a=4\) lub \(a=-4\)
D
\(a=2\) lub \(a=-4\)
Krok 1. Zapisanie równania z wykorzystaniem własności ciągów geometrycznych
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego wzoru nasze trzy wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(a+1)^2=1\cdot9$$
Teraz korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$a^2+2a+1=9$$
$$a^2+2a-8=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które teraz musimy rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4-(-32)=4+32=36$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$
$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-6}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4$$
$$a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+6}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że ciąg jest geometryczny, gdy \(a=-4\) oraz gdy \(a=2\). Sprawdźmy zatem jak będą wyglądać nasze ciągi:
Gdy \(a=-4\), to mamy ciąg \(1,-3,9\), czyli powstał nam ciąg geometryczny niemonotoniczny.
Gdy \(a=2\), to mamy ciąg \(1,3,9\), czyli powstał nam ciąg geometryczny rosnący.
Obydwa przypadki są poprawne, zatem prawidłowa będzie ostatnia odpowiedź.