📄 Treść zadania
W niemonotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy \(a_{4}=16\) i \(a_{6}=1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A
\(-8\)
B
\(-4\)
C
\(4\)
D
\(8\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{4}\cdot q^2$$
$$1=16\cdot q^2$$
$$q^2=\frac{1}{16}$$
$$q=\frac{1}{4} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{4}$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu ciągu.
Wyszły nam dwa różne ilorazy ciągu geometrycznego, dlatego rozpatrzmy dwie możliwości:
Gdy \(q=\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q\)
\(a_{5}=16\cdot\frac{1}{4}\)
\(a_{5}=4\)
Czyli mamy ciąg malejący: \((...,16,4,1,...)\).
Gdy \(q=-\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q\)
\(a_{5}=16\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\)
\(a_{5}=-4\)
Czyli mamy ciąg niemonotoniczny: \((...,16,-4,1,...)\).
Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg miał być niemonotoniczny (czyli raz miał być rosnący, raz malejący), a taka sytuacja ma miejsce w tym drugim przypadku. Z tego też względu \(a_{5}=-4\).