📄 Treść zadania
Czwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi \(0,64\) drugiego wyrazu tego ciągu. Wskaż iloraz tego ciągu.
A
\(\frac{3}{5}\)
B
\(\frac{5}{3}\)
C
\(\frac{4}{5}\)
D
\(\frac{5}{4}\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Oznaczmy sobie drugi wyraz jako \(x\) oraz czwarty wyraz jako \(0,64x\), czyli:
$$a_{2}=x$$
$$a_{4}=0,64x$$
Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Jak pomnożymy drugi wyraz ciągu przez \(q\) to otrzymamy trzeci wyraz, a jak jeszcze raz pomnożymy to przez \(q\) to otrzymamy wartość czwartego wyrazu, czyli zachodzi następująca równość:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q\cdot q$$
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$
Podstawiając \(a_{2}=x\) oraz \(a_{4}=0,64x\) otrzymamy:
$$0,64x=x\cdot q^2$$
$$q^2=0,64$$
$$q=0,8 \quad\lor\quad q=-0,8$$
Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to na pewno \(q\) nie może być ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(q=0,8\), czyli \(q=\frac{4}{5}\).