📄 Treść zadania
Dane są cztery ciągi określone wzorami ogólnymi dla \(n\ge1\). Który z nich jest ciągiem arytmetycznym?
A
\(a_{n}=2n\)
B
\(a_{n}=n^2\)
C
\(a_{n}=2^{n}\)
D
\(a_{n}=\frac{2}{n}\)
Już po samym zapisie wzoru powinniśmy dostrzec, że ciągiem arytmetycznym jest ciąg \(a_{n}=2n\), a różnica tego ciągu jest równa \(2\) o czym świadczy dwójka znajdująca się przed \(n\).
Gdyby ktoś jednak nie pamiętał o tej własności, to zawsze można obliczyć np. trzy pierwsze wyrazy danego ciągu i sprawdzić, czy różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest taka sama jak między wyrazem drugim i trzecim:
Dla ciągu \(a_{n}=2n\):
$$a_{1}=2\cdot1=2$$
$$a_{2}=2\cdot2=4$$
$$a_{3}=2\cdot3=6$$
Widzimy wyraźnie, że różnica tego ciągu jest równa \(2\).
Dla ciągu \(a_{n}=n^2\):
$$a_{1}=1^2=1$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$a_{3}=3^2=9$$
Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(3\), a między drugim i trzecim jest równa \(5\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.
Dla ciągu \(a_{n}=2^{n}\):
$$a_{1}=2^1=2$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$a_{3}=2^3=8$$
Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(2\), a między drugim i trzecim jest równa \(4\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.
Dla ciągu \(a_{n}=\frac{2}{n}\):
$$a_{1}=\frac{2}{1}=2$$
$$a_{2}=\frac{2}{2}=1$$
$$a_{3}=\frac{2}{3}$$
Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(-1\), a między drugim i trzecim jest równa \(-\frac{1}{3}\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.