📄 Treść zadania
Liczby \(64,\;x,\;4\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność \({a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) (dla \(n\ge2\)). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod \(x\):
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$x^2=64\cdot4$$
$$x^2=256$$
$$x=16 \quad\lor\quad x=-16$$
Wartość \(-16\) możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: \(64;\;-16;\;4\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(q\).
Wartość \(q\) obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając \(q\) bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) (dla \(n\ge2\)). Stąd też:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{5}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5-1}$$
$$a_{5}=64\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4}$$
$$a_{5}=64\cdot\frac{1}{256}$$
$$a_{5}=\frac{1}{4}$$