📄 Treść zadania
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), dla \(n\ge1\) taki, że \(a_{5}=18\). Wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r$$
$$18=a_{1}+4r$$
$$a_{1}=18-4r$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{3}=18-4r+2r$$
$$a_{3}=18-2r$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{13}=a_{1}+12r$$
$$a_{13}=18-4r+12r$$
$$a_{13}=18+8r$$
W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13}$$
$$(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)$$
$$\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2$$
$$36r^2-144r=0$$
Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0$$
$$36r(r-4)=0$$
$$36r=0 \quad\lor\quad r-4=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=4$$
I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).
Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r$$
$$a_{1}=18-4\cdot4$$
$$a_{1}=18-16$$
$$a_{1}=2$$
Krok 6. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=2+(n-1)\cdot4$$
$$a_{n}=2+4n-4$$
$$a_{n}=4n-2$$