📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{8}{9}\). Wówczas \(cosα\) jest równy:
A
\(\frac{1}{9}\)
B
\(\frac{8}{9}\)
C
\(\frac{\sqrt{17}}{9}\)
D
\(\frac{\sqrt{65}}{9}\)
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$cos^2α=1-sin^2α$$
$$cos^2α=1-\left(\frac{8}{9}\right)^2$$
$$cos^2α=1-\frac{64}{81}$$
$$cos^2α=\frac{17}{81}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{17}{81}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{17}{81}}$$
Ujemną wartość musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\sqrt{\frac{17}{81}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{81}}=\frac{\sqrt{17}}{9}\).