📄 Treść zadania
Wiedząc, że kąt \(α\) jest rozwarty oraz \(sin^2α=\frac{9}{25}\), oblicz \(tgα\).
Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Wiedząc, że \(sin^2α=\frac{9}{25}\) możemy bez przeszkód obliczyć wartość samego sinusa:
$$sin^2α=\frac{9}{25}$$
$$sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$
Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz informacji o tym, że \(sin^2α=\frac{9}{25}\) otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\frac{9}{25}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{16}{25}$$
$$cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$
Z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest rozwarty, a dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje ujemne wartości. Zatem dodatnie rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam \(cosα=-\frac{4}{5}\).
Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znając wartość sinusa oraz cosinusa możemy już bez przeszkód obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα}$$
$$tgα=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$$
$$tgα=\frac{3}{5}:\left(-\frac{4}{5}\right)$$
$$tgα=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{5}{4}\right)$$
$$tgα=-\frac{3}{4}$$