Zadanie 20 Pojęcie ciągu i ciągi liczb całkowitych — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — definicja. Ciąg jest malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$ dla każdego $n$, czyli $a_{n+1}-a_n\lt 0$.

Krok 2 — liczymy różnicę:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}$$

Krok 3 — badamy znak. Licznik $-1\lt 0$, a mianownik $n(n+1)>0$ dla $n$ naturalnych, więc:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{n(n+1)}\lt 0 \qquad ∎$$

Różnica jest ujemna dla każdego $n$, więc ciąg jest malejący.

Sprawdzenie: $a_1=1$, $a_2=\frac12$, $a_3=\frac13$ — wyrazy istotnie maleją ✔