📄 Treść zadania
Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest \(3\) razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy \(2\) i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą:
A
\(12\)
B
\(11\)
C
\(24\)
D
\(22\)
Krok 1. Zapisanie wzorów i ułożenie równania.
Zapiszmy sobie na wstępie wzory na pole powierzchni całkowitej stożka oraz kuli:
$$P_{s}=πr(r+l)$$
$$P_{k}=4πr^2$$
Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej stożka jest \(3\) razy większe od pola kuli, zatem:
$$P_{s}=3P_{k}$$
$$πr(r+l)=3\cdot4πr^2$$
$$πr(r+l)=12πr^2$$
$$r(r+l)=12r^2$$
Krok 2. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Szukamy długości tworzącej stożka, czyli \(l\). Z treści zadania wynika, że promień zarówno kuli jak i stożka to \(r=2\), zatem podstawiając to do wyznaczonego przed chwilą równania otrzymamy:
$$2\cdot(2+l)=12\cdot2^2$$
$$4+2l=12\cdot4$$
$$4+2l=48$$
$$2l=44$$
$$l=22$$