📄 Treść zadania
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3,10,5,x,x,x,x,12,19,7\) jest równa \(12\). Mediana tych liczb jest równa:
A
\(14\)
B
\(12\)
C
\(16\)
D
\(x\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy.
Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12$$
$$\frac{56+4x}{10}=12$$
$$56+4x=120$$
$$4x=64$$
$$x=16$$
Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$
Krok 3. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli:
$$m=\frac{12+16}{2}$$
$$m=\frac{28}{2}$$
$$m=14$$